Алексей Балакаев родился 10 февраля 1928 года в деревне Шикирта Яндыко-Мочажного улуса (ныне — Наримановский район, Астраханская область). В 1941 году Алексей Балакаев начал свою трудовую деятельность в местном колхозе. В 1943 году во время депортации калмыков был выслан в Сибирь. Во время ссылки обучался в Красноярской художественной школе имени В. Сурикова. Работал учителем рисования в школе № 33 станции Чернореченской (ныне посёлок Новочернореченский). В это же время начал заниматься литературной деятельностью. Ему помогал сибирский писатель Сергей Сартаков, способствовавший публикации 19 декабря 1948 года заметки «Первые шаги» о жизни сибиряков в газете «Красноярский рабочий».
После возвращения в Калмыкию, в 1957 году, Алексей Балакаев стал работать литературным сотрудников в газете «Хальмг үнн», позднее — редактором Калмыцкого книжного издательства.
В 1961 году закончил Элистинское педагогическое училище.
В 1963 году Алексей Балакаев закончил высшие литературные курсы при Литературном институте имени Максима Горького. В 1969 году закончил Литературный институт имени Максима Горького. В 1975 году — высшие курсы драматургии при ГИТИС.
В 1992 году удостоен звания Народного писателя Калмыкии.
Балакаев известен в калмыцкой литературе как автор книги «Элст деер мандлсн одн» (Звезда над Элистой) — первого калмыцкого романа о жизни рабочего класса, а также повестью «Три рисунка» — о депортации калмыцкого народа.
В последние годы своей жизни занимался драматургией. Его пьеса «Иткл» (Верность) была поставлена в 1964 году на сцене Калмыцкого драматического театра. Балакаев создал либретто первой калмыцкой музыкальной комедии «Элстин вальс» (Элистинский вальс).
В 1957 году, будучи три дня в гостях у джангарчи Давы Шавалиева, записал из его уст калмыцкие йөрәл (благопожелания), которые были изданы отдельной книгой в 1960 году.
Занимался переводами на калмыцкий язык стихотворений Якуба Коласа, книги Николая Островского «Как закалялась сталь».